Differentiation of numerical simulations with embedded nonlinear systems and integrals

Safiran, Niloofar; Naumann, Uwe (Thesis advisor); Ábrahám, Erika (Thesis advisor)

Aachen (2018, 2019)
Doktorarbeit

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018

Kurzfassung

Der Ablauf eines Systems oder Prozesses kann durch Simulation analysiert werden. Eine Simulation eines Systems beginnt mit dem Entwurf und der Entwicklung eines Modells des ausgewählten (tatsächlichen oder theoretischen) Systems unter Berücksichtigung seiner Schlüsseleigenschaften und seines Verhaltens. Computersimulation soll das entsprechende Modell auf einem digitalen Computer ausführen und die Ergebnisse der Ausführung analysieren. Der Zweck der Simulation besteht darin, die Auswirkung verschiedener Bedingungen oder Änderungen auf ein System zu untersuchen und zu analysieren. Für den Fall, dass ein Computersimulationsmodell optimiert werden muss, sollte ein Optimierungsalgorithmus darauf angewendet werden. Aufgrund der Abhängigkeit vieler numerischer Algorithmen zur Optimierung von Ableitungsinformationen des zugrundeliegenden Problems ist eine effiziente Bewertung der Ableitung sehr wichtig. Für den Fall, dass die Ableitungsinformation des Simulationssystems benötigt wird (zum Beispiel für die Optimierung), sollten die Ableitungen seiner eingebetteten Systeme evaluiert werden. Nichtlineare Systeme sind die Systeme, bei denen die Ausgabewert nicht direkt proportional zu der Eingabewert ist, und dies ist in vielen mathematischen und physikalischen Systemen der Fall. Die Navier-Stokes-Gleichungen in der Fluiddynamik sind Beispiele für nichtlineare Differentialgleichungen. In der Physik wird die Integration sehr oft verwendet, zum Beispiel für die Berechnung der Arbeit, bei der Arbeit das Integral der Kraft über eine Entfernung ist, oder als ein anderes Beispiel für die Berechnung des elektrischen Flusses, der das Integral des elektrischen Feldes über einer Oberfläche ist. Gemäß den oben erwähnten Systemen existieren viele Simulationssysteme mit eingebetteten nichtlinearen Systemen und / oder eingebetteten (ein- oder mehrdimensionalen) Integralen. Zur Optimierung der entsprechenden Simulationssysteme mit einer abgeleiteten Methode sollten auch die Ableitungen der eingebetteten Integral(e) und eingebetteten nichtlinearen Gleichung(en) ausgewertet werden. Daher werden verschiedene Ansätze zur Berechnung der Ableitungen von Integralen und nichtlinearen Gleichungen hinsichtlich der Berechnungskomplexität, des Speicherbedarfs und der Konvergenz verglichen, und am Ende wird man in der Lage sein, das optimale Differenzierungsverfahren zu wählen, falls ein nichtlineares System vorliegt und / oder ein- oder mehrdimensionales Integral im System. Andererseits werden die Ableitungen nicht nur für die Optimierung benötigt, sondern beispielsweise auch zur Approximation einer Funktion bei Taylor-Series. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass eine Funktion durch Verwendung einer endlichen Anzahl von Termen ihrer Taylor-Series approximiert werden kann, werden die Ableitungen auch für diese Näherung verwendet, und wenn eine gewisse Genauigkeit erforderlich ist, sollten die Ableitungen mit höherer Ordnung berechnet werden. Daher eine effiziente Bewertung der Ableitungen höherer Ordnung ist auch entscheidend. Ziel ist es, die bessere Differentiationsalternative für den Fall zu wählen, dass die Ableitungen erster und höherer Ordnung eines Systems mit eingebettetem nichtlinearem System und / oder (ein- oder mehrdimensionalem) Integral in Bezug auf Laufzeit und Speicherbedarf bewertet werden.